Herzlich willkommen devhog hier im Forum. Deine Verzweiflung ist verständlich, wirklich eine unschöne Situation, in der du steckst. 
Zu deinen Fragen:
ADHS ist eine Art, wie dein Gehirn seit Geburt funktioniert. Die Symptome müssen daher seit Kindertagen auftreten. Eine Depression ist ein zeitlich begrenzter Zustand, für den es ein Vorher und ein Nachher gibt (ja, auch ein Nachher, auch wenn man das, wenn man gerade in der Krise steckt, nicht glauben kann 
).
Unbehandeltes ADHS kann durch die entstehende chronische Überlastung in eine Depression führen.
Ein Psychiater bzw. Psychologe, der sich mit ADHS auskennt, kann beide Erkrankungen durch ausführliche Befragungen und Testungen unterscheiden.
Ja. Wenn du den Verdacht „ADHS“ mit in die Klinik nimmst und dort ausführlich über deine Symptome berichtest, müssten die dort eine Diagnostik mit dir machen, sofern einer der Behandler ADHS-kompetent ist. Falls es dort nicht die notwendige Expertise gibt, kannst du als Selbstzahlerin bei einem niedergelassenen Fachmenschen eine Diagnostik durchführen lassen. Näheres siehe z.B. hier.
Das kann ich dir nicht beantworten - es gibt hier im Forum jedenfalls einige gute Erfahrungen. In der Regel findet sich aber als Selbstzahlerin ein Real-World Fachmensch mit Wartezeiten von weniger als 8 Wochen, wenn man ausführlich rumtelefoniert. So dass ein Ausweichen auf Online gar nicht nötig ist.
Machst du einen stationären Aufenthalt oder eine Reha?
Bei ersterem geht es um Stabilisierung und kurzfristig eine Besserung deiner Depression zu erreichen, so dass du nach dem Aufenthalt aus eigener Kraft ambulante Behandlungen weiterführen kannst zur Ausheilung der Erkrankung.
Bei letzterem geht es um Wiederherstellung deiner Arbeitsfähigkeit, was letztlich bedeutet: Fest zu stellen, ob du mind. 15 Stunden pro Woche arbeitsfähig bist und wenn ja, wie viele Stunden und ob es ggfs. weitere Einschränkungen für deinen Arbeitsplatz gibt.
Auf jeden Fall macht es Sinn, deine schwere Depression zu behandeln! Geh in die Klinik, lass dich auf Antidepressiva einstellen, nimm jedes Hilfsangebot in Anspruch, was dir angeboten wird! Physiotherapie, Ergotherapie, Selbsthilfegruppe, Psychotherapie - alles sinnvolle Bausteine 
Die Depression steht zur Zeit im Vordergrund und wird daher auch primär behandelt - da gebe ich dem Klinikarzt recht. Parallel kann eine ADHS Diagnostik laufen (Klinik oder danach selbst organisiert ambulant) und bei positivem Bescheid therapeutisch behandelt werden. Das beißt sich nicht mit der Depressionsbehandlung.
Es klingt so schön: Mein unerkanntes ADHS ist die Ursache meiner Krankheit - wird das ADHS behandelt, geht es mir endlich gut! Da muss ich dich leider enttäuschen: Für die allermeisten ADHSler geht das in dieser Linearität nicht auf…Viele haben auch weiterhin mit Komorbiditäten zu kämpfen. Es kann aber deutlich leichter werden mit dem Wissen um die eigene Neurodivergenz und eine wirksame Behandlung.
Aus eigener Erfahrung kann ich sagen: Depressionen gehen nicht weg, nur weil man Stimulanzien nimmt.
Ich wünsche dir den Mut der Verzweiflung, in diese Klinik zu gehen und dir in dieser schweren Krise helfen zu lassen. Vertraue deinem Gefühl, dass ADHS bei dir vorliegen könnte und bleibe hartnäckig, bis du eine Testung durchlaufen hast.
Berichte uns gerne, wie es bei dir weitergeht.